ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ

            Системы счисления и способы перевода чисел
                         из одной системы в другую.

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами .

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы - римская система счисления. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.  

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная система счисления.

В позиционной системе счисления любое число записывается в виде последовательности цифр:

A = + am-1 am-2 ... ak ... a0 , a-1 ... a-l (I)

Позиции, пронумерованные индексами k (-l < k < m-1) называются разрядами числа. Сумма m+l соответствует количеству разрядов числа (m - число разрядов целой части числа, l - дробной части).

Каждая цифра ak в записываемой последовательности может принимать одно из N возможных значений. Количество различных цифр (N), используемых для изображения чисел в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Основание N указывает, во сколько раз единица k+1 -го разряда больше единицы k -го разряда, а цифра ak соответствует количеству единиц k -го разряда, содержащихся в числе.

Таким образом, число может быть представлено в виде суммы:

(A)N = +(am-1Nm-1 + am-2Nm-2 +...+ a0 + a-1N-1 +...+ a-lN-l) (II)  

Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная , восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в индексе указывать основание системы счисления.

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Любое двоичное число может быть представлено в следующей форме:

(A)2 = +(am-12m-1 + am-22m-2 + ... + a0 + a-12-1 + ... + a-l2-l)

Например, двоичное число

(10101,101)2 = 1*24+0*23+1*22+0*2+1+1*2-1+0*2-2+1*2-3 = (21,625)10

В восьмеричной системе счисления для записи чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шестнадцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в другую

Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по сравнению с другими системами. Все остальные системы счисления применяются только для удобства пользователей.

В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами.

Таблица сложения:

0 + 0 =  0

0 + 1 =  1

1 + 0 =  1

1 + 1 = 10

Таблица умножения:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

                                            Многоразрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Перевод числа из одной системы в другую выполняется по универсальному алгоритму, заключающемуся в последовательном делении целой части числа и образующихся целых частных на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, и в последующем умножении дробной части и дробных частей получающихся произведений на то же основание, записанное в  исходной системе счисления.  

TreasureChest - это интересно. 

При переводе  целой части получающиеся в процессе последова-

тельного деления остатки представляют цифры целой части  числа  в

новой системе  счисления,  записанные  цифрами  исходной  системы

счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.  

При переводе дробной части числа целые части чисел, получающихся при умножении, не участвуют в последующих умножениях. Они представляют собой цифры дробной части исходного числа в новой системе счисления, изображенные числами старой системы. Значение первой целой части является первой цифрой после запятой переведенного числа.

Если при переводе дробной части получается периодическая дробь, то производят округление, руководствуясь заданной точностью вычислений.

Пример перевода числа 111110,01 из двоичной системы в десятичную.

Примечание 1: 1010 - основание десятичной системы счисления в двоичной записи.

Примечание 2: десятичные эквиваленты разрядов искомого числа находим по таблице.

При переводе чисел из любой системы счисления в десятичную удобнее пользоваться непосредственно формулой (II):

(775)8 = 7*82 + 7*8 + 5 = (509)10

Для осуществления автоматического перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-десятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII.

При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой):

(983,65)10 = (1001 1000 0011, 0110 0101)2-10

При записи чисел в кодах ASCII цифрам от 0 до 9 поставлены в соответствие восьмиразрядные двоичные коды от 00110000 до  

 - новый век, новые возможности.

00111001.

ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации, например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в десятичной системе счисления над числами, представленными в дво­ично-десятичных кодах и кодах ASCII.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются только программистами и операторами ЭВМ, так как представление чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и пе­ревод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень просто (основания этих систем представляют собой целую степень числа

2).

Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой), а для перевода шестнадцатиричного числа - четырьмя (тетрадой):

(376,51)8 = (011 111 110, 101 001)2

(1AF8)16 = (0001 1010 1111 1000)2